1. Η καταστροφή του παίκτη

Παίκτης αρχίζει να παίζει με αρχικό κεφάλαιο 1€ και σε κάθε παιχνίδι ή κερδίζει 1€ ή χάνει 1€ ανεξαρτήτως του παρελθόντος με πιθανότητες p και 1-p = q αντιστοίχως. Έστω Rn το συνολικό κεφάλαιο του παίκτη μετά από το no παιχνίδι. Σκοπός του παίκτη είναι να αυξήσει το κεφάλαιό του σε Ν€ πρίν καταστραφεί δηλαδή πρίν φτάσει στο σημείο να έχει κεφάλαιο 0€ . Αν ο παίκτης πετύχει το στόχο του κερδίζει το παιχνίδι. Σε κάθε περίπτωση, ο παίκτης σταματά το παιχνίδι μετά από κέρδος Ν€ ή απώλειας όλων των χρημάτων του, όποιο από τα δύο έρθει πρώτο. Δεν υπάρχει ειδικός λόγος να αρχίσει ο παίκτης με 1€, γενικώς ο παίκτης αρχίζει με i€ με 0< i < N .

Κατά την εξέλιξη του παιχνιδιού,η αποτελεί απλό τυχαίο περίπατο

Όπου η ακολουθία είναι ακολουθία ανεξάρτητων ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με , που παριστάνει τα “κέρδη” στα διαδοχικά παιχνίδια.

Επειδή το παιχνίδι σταματά όταν, έστω

,

ο χρόνος κατά τον οποίο σταματά το παιχνίδι δεδομένου ότι το αρχικό κεφάλαιο ήταν R=i . Αν , τότε ο παίκτης κερδίζει το παιχνίδι, ενώ αν τότε ο παίκτης έχει καταστραφεί.

Συμβολίζουμε με την πιθανότητα τελικής νίκης του παίκτη με αρχικό κεφάλαιο

Επειδή εξ’ορισμού και θέλουμε να υπολογίσουμε την

Η ιδέα είναι η δέσμευση της ζητούμενης πιθανότητας από το αποτέλεσμα του πρώτου παιχνιδιού, Χ1=1 ή Χ1=-1, από την οποία προκύπτει:

(1)

Αν Χ1=1, τότε το συνολικό κεφάλαιο του παίκτη αξάνεται στο ποσό

Οπότε από την ιδιότητα Markov o παίκτης θα κερδίσει τώρα με πιθανότητα .Ομοίως αν Χ1=-1 τότε το κεφάλαιο του παίκτη θα μειωθεί στο οπότε και πάλι από την ιδιότητα Markov ο παίκτης θα κερδίσει με πιθανότητα . Οι πιθανότητες που αντιστοιχούν στα δύο αποτελέσματα είναι p και q συνεπώς προκύπτει η (1). Επειδή p+q = 1 η (1) μπορεί να γραφτεί εκ νέου ως από την οποία και προκύπτει ότι :

Ειδικώς, (επειδή ), οπότε:

= και γενικώς

Συνεπώς,

Από την οποία προκύπτει ότι:

(Εδώ χρησιμοποιούμε το άθροισμα των όρων γεωμετρικής προόδου για κάθε ακέραιο i και λόγο ω = q/p ).

Επιλέγοντας και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι , προκύπτει ότι:

1=

Σχέση από την οποία προκύπτει ότι:

Και από την (2) προκύπτει ότι η λύση είναι :

(3)

(Σημείωση: Η πιθανότητα 1-είναι η πιθανότητα καταστροφής του παίκτη)

Η πιθανότητα να γίνει ο παίκτης πάμπλουτος ή να καταστραφεί

Αν η , τότε και συνεπώς από την (3) προκύπτει ότι

(4)

Αν η , τότε και συνεπώς από την (3) προκύπτει ότι

(5)

Για να ερμηνεύσουμε το νόημα των σχέσεων (4) και (5), υποθέτουμε ότι ο παίκτης αρχίζοντας το παιχνίδι με κεφάλαιο Χ0=i επιθυμεί να συνεχίσει το παιχνίδι για πάντα έως ότου καταστραφεί οδηγούμενος από την τάση να κερδίσει όσο το δυνατόν περισσότερα χρήματα. Συνεπώς δεν υπάρχει η τιμή Ν, ο παίκτης θα σταματήσει το παιχνίδι του μόνο αν καταστραφεί. Τί θα συμβεί;

H (4) μας λέει ότι αν p > 0.5 (κάθε παιχνίδι είναι υπέρ του παίκτη), τότε υπάρχει θετική πιθανότητα για το ενδεχόμενο ο παίκτης να μή καταστραφεί αλλά αντιθέτως να γίνει πάμπλουτος.

Η (5) με τη σειρά της μας λέει ότι αν p 0.5 (κάθε παιχνίδι είναι εναντίον του παίκτη) και με πιθανότητα 1 ο παίκτης καταστρέφεται.

Παραδείγματα.

Παίκτης αρχίζει παιχνίδι με αρχικό κεφάλαιο 2€, και p = 0.6 Ποιά είναι η πιθανότητα ο παίκτης να κερδίσει ποσό Ν=4 € χωρίς να μηδενίσει το αρχικό του κεφάλαιο;

Λύση. i = 2 ,N=4 και q = 1 – p = 0.4, οπότε q/p = 2/3

Ζητάμε την Ρ2 η οποία δίνεται από την:

Ποιά είναι η πιθανότητα ο παίκτης να γίνει πάμπλουτος;

Λύση.

Αν ο παίκτης αρχίσει με κεφάλαιο i = 1€, ποιά είναι η πιθανότητα να καταστραφεί;

Λύση.

H πιθανότητα που έχει ο παίκτης να καταστεί πάμπλουτος είναι και συνεπώς η καταστροφή του παίκτη συμβαίνει με πιθανότητα

Εφαρμογή.

Έστω α > 0 και β > 0 ακέραιοι και Rn απλός τυχαίος περίπατος με R0 = 0. Έστω ακόμη

p (Rn φτάνει στο επίπεδο α, πριν φτάσει στο επίπεδο β)

Θέτουμε, α= Ν-i και β = i (οπότε Ν = α+β) .Αν σκεφτούμε ένα παίκτη που αρχίζει με i = β και επιθυμεί να αγγίξει το ποσό των Ν = α+β πριν καταστραφεί, μπορούμε να υπολογίσουμε την p(α) χρησιμοποιώντας την λογική του προβλήματος καταστροφής του παίκτη: p(α) = Pi , όπου Ν=α+β, i = β.

Συνεπώς,

(6)

Παραδείγματα.

Μετοχή στο Ελληνικό χρηματιστήριο αξίας 10€ μεταβάλλει την τιμή της καθημερινά σύμφωνα με τυχαίο περίπατο p = 0.55. Ποιά είναι η πιθανότητα η τιμή της μετοχής να πάρει την τιμή των 15 € πριν πάρει την τιμή των 5€;

Λύση.

Ζητάμε την πιθανότητα που έχει η τιμή της μετοχής να ανέβει κατά 5€ πριν κατέβει στα 5€. Αυτό ισοδυναμεί με τυχαίο περίπατο που αρχίζει το ταξίδι του στο 0 με α=5 και β=5. Ζητάμε ως εκ τούτου την πιθανότητα:

Ποιά είναι η πιθανότητα κάτοχος της συγκεκριμένης μετοχής να γίνει πάμπλουτος;

Λύση.

Στην περίπτωση αυτή στο πρόβλημα της καταστροφής του παίκτη, από τον τύπο για την για i = 10 και Ν παίρνουμε: